En fait, chacune des règles précédentes n'est qu'un cas particulier
de la règle de dérivation d'une fonction composée, qui n'est pas vraiment au programme de Terminale.
Proposition 1 On considère ici :
-
- $v$ une fonction définie sur un intervalle $J$ de $\R$,
- $u$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et à valeurs dans $J$.
Si $u$ est dérivable en $a\in I$ et si $v$ est dérivable en $b=u(a)$, alors :
\[
f : x \mapsto v\big(u(x)\big)
\]
est dérivable en $a$ et :
\[
f'(a)
= v'\big(u(a)\big) \times u'(a).
\]
Justification
Vous verrez la démonstration générale de ce résultat en première année du supérieur,
mais pour l'instant nous allons le vérifier en supposant (ce qui est fréquent) :
\[
\text{au voisinage de $a$, si } x \neq a \text{, alors } u(x) \neq u(a).
\]
On peut alors écrire :
\[\frac{\big(v\circ u\big)(x)-\big(v\circ u\big)(a)}{x-a}
= \frac{\big(v\circ u\big)(x)-\big(v\circ u\big)(a)}{u(x)-u(a)}\,\frac{u(x)-u(a)}{x-a},
\]
ce qui permet de conclure rapidement.
Proposition 2 Avec les notations de la proposition précédente,
si $u$ et $v$ sont dérivables sur tout leur domaine de définition, alors :
$$ f = v \circ u : x \mapsto v\big(u(x)\big)$$
est dérivable sur $I$ et :
\[
\fa{x\in I} f'(x) = v'\big(u(x)\big) \times u'(x).
\]
Remarque Certains préfèrent écrire la relation précédente sous la forme :
\[
\fa{x\in I} f'(x) = u'(x) \times v'\big(u(x)\big)
\]
soi-disant pour ne pas oublier de dériver la fonction $u$.
Personnellement, je préfère la première écriture qui laisse les fonctions
dans l'ordre dans lequel elles apparaissent dans $v\big(u(x)\big)$.
Elle me paraît aussi plus appropriée pour le cas où l'on a plus de deux fonctions.
Dans le cas où l'on aurait :
\[
f(x) = w\Big(v\big(u(x)\big)\Big),
\]
il me paraît plus naturel d'écrire dans le même ordre :
\[
f'(x) = w'\Big(v\big(u(x)\big)\Big)\,v'\big(u(x)\big)\,u'(x)
\]
que de tout inverser et d'écrire :
\[
f'(x) = u'(x)\, v'\big(u(x)\big)\, w'\Big(v\big(u(x)\big)\Big).
\]
Méthode Si vous voulez progresser vous devez absolument utiliser dès maintenant cette règle de calcul,
qui permet de remplacer avantageusement les diverses règles de la partie précédente.
Non seulement cette dernière règle permet de faire
une importante économie de mémorisation, mais surtout elle s'applique dans bien plus de cas de figure !
Profitons-en pour donner une règle de calcul bien utile.
Proposition 3 Soit $n\in\Z$. Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I\subset\R$
et ne prenant que des valeurs strictement positives, alors la fonction :
\[
f : x \mapsto \big(u(x)\big)^{\frac{n}{2}} = \left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{n}= \sqrt{u^{n}(x)}
\]
est dérivable sur $I$ et :
\[
\fa{x\in I} f'(x) = \frac{n}{2} \,\big(u(x)\big)^{\frac{n}{2}-1}\,u'(x).
\]
Justification
-
- La première ligne :
\[
f : x \mapsto \big(u(x)\big)^{\frac{n}{2}} = \left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{n} = \sqrt{u^{n}(x)}
\]
n'est qu'un rappel de la définition d'une puissance de la forme $\frac{n}{2}\cdot$
Pour $n\in\Z$ et $t\in\R_{+}$, on montre aisément $\big(\sqrt{t}\,\big)^{n} = \sqrt{t^{n}}$.
Il suffit de prendre les carrés de chacun de ces deux nombres positifs.
On a :
-
- d'une part :
\[
\Big(\big(\sqrt{t}\,\big)^{n}\Big)^{2}
= \big(\sqrt{t}\,\big)^{2n}
= \Big(\big(\sqrt{t}\,\big)^{2}\Big)^{n}
=t^{n}.
\]
les deux premières égalités découlant des règles de calcul sur les puissances entières,
et la dernière de la définition de $\sqrt{x}$.
- d'autre part :
\[
\big(\sqrt{t^{n}}\,\big)^{2} = t^{n}
\]
par définition de la racine d'un réel positif.
On en déduit l'égalité annoncée puisque $\big(\sqrt{t}\,\big)^{n}$ et $\sqrt{t^{n}}$
sont positifs par définition.
- Ensuite, il suffit d'utiliser la règle de dérivation d'une fonction composée
avec l'une ou l'autre des deux expressions proposées.
-
- Avec la première expression
-
- La fonction $u$ ne prenant que des valeurs strictement positives,
la fonction $x\mapsto \sqrt{u(x)}$ est dérivable,
et il en est donc de même de sa puissance $n$.
- Par suite, $f$ est dérivable sur $I$, et la règle de dérivation
d'une fonction composée donne :
\begin{align*}
f'(x)
&= n \times \left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{n-1} \times \frac{1}{2} \times \frac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}\\\\
&= \frac{n}{2}\times \left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{n-2} \times u'(x)\\\\
&= \frac{n}{2}\times \big(u(x)\,\big)^{\frac{n-2}{2}} \times u'(x)\\\\
&= \frac{n}{2}\times u^{\frac{n}{2}-1}(x)\times u'(x).
\end{align*}
- Avec la seconde expression
Méthode Cette dernière règle de calcul,
qui n'est que la généralisation de celle sur les puissances entières,
vous permettra de dériver facilement et efficacement toute expression du genre :
\[
\frac{1}{\sqrt{u(x)}} \, , \quad
\left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{3}\, , \quad
\frac{1}{\left(\sqrt{u(x)}\,\right)^{3}} \, , \quad
\]
en les écrivant respectivement :
\[
\big(u(x)\big)^{-\frac{1}{2}}\,,\quad
\big(u(x)\big)^{\frac{3}{2}}\,,\quad
\big(u(x)\big)^{-\frac{3}{2}}\,\cdot
\]
Elle vous rendra aussi de grands services en calculs de primitives !
![Intervalle [a-h a+h]](Fig/TS-05-Intervalle.png)