Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\DD$ au voisinage de $a$.
Définition On dit que $f$ est équivalente
à $g$ au voisinage de $a$, ou encore équivalente à $g$ en $a$,
s'il existe une fonction $u$ définie sur $\DD$ telle que :
\[
f=g\times u \text{ au voisinage de }a
\et
\lim\limits_a u = 1.
\]
Notation On note alors $f \limsim_a g$.
Autres notations
Comme pour les notations $\o$ et $\O$,
-
- s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point au voisinage duquel on se place,
alors on note simplement $f\limsim g$ sans mettre d'indice ;
- lorsque l'on fait des calculs, on note $f(x)\limsim_{x\to a} g(x)$
ou, s'il n'y a pas d'ambiguïté sur le point $a$, simplement $f(x)\limsim g(x)$.
Remarque importante sur le caractère local de cette définition.
Que signifie « $f=\phi\times u$ au voisinage de $a$ » ?
-
- Si $a\in\R$
Cela signifie qu'il existe $h\in\Rpe$ tel que :
\[
\fa{x\in\DD\cap\mathopen{[}a-h,a+h\mathclose{]}}f(x)=\phi(x)\times u(x).
\]
Ainsi, pour justifier $f\limsim_a \phi $, on pourra se limiter à donner
une fonction $u$ définie sur $\DD\cap\mathopen{[}a-h,a+h\mathclose{]}$
avec un $h>0$ arbitrairement choisi.
Le fait de limiter ainsi le domaine n'a aucune importance,
puisque nous verrons que $f\limsim_a \phi$ sert surtout
à prouver que :
si $\phi$ possède une limite (finie ou infinie) en $a$,
alors $f$ y possède la même limite.
- Si $a=+\infty$
Cela signifie qu'il existe $A\in\R$ tel que :
\[
\fa{x\in\DD\cap\mathopen{[}A,+\infty\mathclose{[}}f(x)=\phi(x)\times u(x).
\]
Ainsi, pour justifier $f\limsim_{\infty} \phi$, on pourra se limiter à donner
une fonction $u$ définie sur $\mathopen{[}A,+\infty\mathclose{[}$
avec un $A\in\R$ arbitrairement choisi.
Le fait de limiter ainsi le domaine n'a aucune importance,
puisque nous verrons que $f\limsim_{+\infty} \phi$ sert surtout
à prouver que :
si $\phi$ possède une limite (finie ou infinie) en $+\infty$,
alors $f$ y possède la même limite.
- Si $a=-\infty$
Cela signifie qu'il existe $A\in\R$ tel que :
\[
\fa{x\in\DD\cap\mathopen{]}-\infty,A\mathclose{]}}f(x)=\phi(x)\times u(x).
\]
Ainsi, pour justifier $f\limsim_{\infty}\phi$, on pourra se limiter à donner
une fonction $u$ définie sur $\mathopen{]}-\infty,A\mathclose{]}$
avec un $A\in\R$ arbitrairement choisi.
Le fait de limiter ainsi le domaine n'a aucune importance,
puisque nous verrons que $f\limsim_{-\infty}\phi$ sert surtout
à prouver que :
si $\phi$ possède une limite (finie ou infinie) en $-\infty$,
alors $f$ y possède la même limite.
Fonction équivalente à $0$ ? Est-ce possible ?
D'après la définition, une fonction $f$ est équivalente à la fonction nulle
si, et seulement si, $f$ est identiquement nulle au voisinage du point considéré,
sur un intervalle où l'on a l'égalité $f=u\times 0$.
Il est donc fort peu probable qu'un calcul d'équivalents
mène à ce résultat.
Caractérisation en termes de $\o$ (fonctions négligeables)
Proposition 4
Soit $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $\DD$. On a :
\[
f \limsim_a g \Longleftrightarrow (f-g)\epo_a(g).
\]
Justification
Avec les notations précédentes, on a :
$$\lim\limits_a u = 1 \Longleftrightarrow \lim\limits_a (u-1) = 0.$$
En terminale, vous disiez qu'en $\pm\infty$, une fonctions polynomiale
« se comporte comme son terme de plus haut degré ».
La notion d'équivalent nous permet d'avoir une formulation
plus rigoureuse.
Exemple 3 Soit $f$ la fonction polynomiale définie par :
$$f(x)=\sum\limits_{k=p}^n a_k\,x^k $$
avec $p\in\N$ et $n\in\N$ vérifiant $p\leq n$,
ainsi que $(a_k)_{k\in \ceo 0,n\cef}$ une famille de réels donnée.
-
- Si $a_n\neq0$, montrer $f(x) \limsim_{x\to +\infty} a_n\,x^n$.
Pour $x > 0$, on a :
\[f(x)=a_n\,x^n\bigg(\sum\limits_{k=p}^{n-1}\frac{a_k}{a_n\,x^{n-k}}+1\bigg)\cdot\]
Comme :
$$\lim\limits_{x\to+\infty}\bigg(\sum\limits_{k=p}^{n-1}\frac{a_k}{a_n\,x^{n-k}}+1\bigg)=1$$
on en déduit $f(x) \limsim_{x\to +\infty} a_n\,x^n$.
- Si $a_p\neq0$, montrer $f(x)\limsim_{x\to 0} a_p\,x^p$.
Pour $x\in \R$, on a :
\[f(x)=a_p\,x^p \bigg(1+\sum\limits_{k=p+1}^n\frac{a_k}{a_p}\,x^{k-p}\bigg).\]
Comme :
\[
\lim\limits_{x\to0} \bigg(1+\sum\limits_{k=p+1}^n\frac{a_k}{a_p}\,x^{k-p}\bigg) = 1,
\]
on en déduit $f(x)\limsim_{x\to 0} a_p\,x^p$.
Méthode Retenir donc qu'une fonction polynomiale non nulle est :
-
- au voisinage de $0$, équivalente à son
terme de plus bas degré ;
- au voisinage de $+\infty$ ou de $-\infty$, équivalente à son
terme de plus haut degré.
Et proscrire la formulation de Terminale « se comporte comme ».