Terminer le calcul de $\displaystyle\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t$.
Comme :
\[
\sin \Big({-\frac{\pi}{2}}\Big) = -1,
\et
\sin\Big(\frac{\pi}{6}\Big) = \frac{1}{2}
\]
on a :
\[
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
= \int_{\sin({-\frac{\pi}{2}})}^{\sin(\frac{\pi}{6})}
\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
\]
le changement $t= \sin u$ donne :
\[
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} |\cos u|\,\cos u\,\diff u.
\]
Ensuite, il suffit $\ldots$
$\ldots$ de voir que le $\cos$ reste positif sur l'intervalle,
et de linéariser le $\cos^{2}$.
\par
Solution
Étant donné que :
\[
\phi : \fonction{\R}{\mathopen{[}-1,1\mathclose{]}}
{u}{\sin u}
\]
est de classe $\CC^{1}$ et vérifie :
\[
\phi \Big({-\frac{\pi}{2}}\Big) = -1,
\et
\phi\Big(\frac{\pi}{6}\Big) = \frac{1}{2},
\]
le changement de variable $t=\sin u$ donne :
\begin{align*}
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
&=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}
\sqrt{1-\sin^{2}u}\,\cos u\,\diff u \\\\
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\sqrt{\cos^2u}\,\cos u\,\diff u\\\\
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}} |\cos u|\,\cos u\,\diff u.
\end{align*}
Comme la fonction $\cos$ est positive sur $[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6}]$,
on a :
\begin{align*}
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
&= \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\cos ^{2}u\,\diff u\\\\
&= \dfrac{1}{2}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}( 1+\cos 2u) \,\diff u \\\\
&= \dfrac{1}{2}\left[ u+\dfrac{\sin 2u}{2}\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{6}}\\\\
&=\dfrac{1}{8}\sqrt{3}+\dfrac{\pi}{3}\cdot
\end{align*}
\par
A-t-on l'égalité :
\[
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
= \int_\frac{3\pi}{2}^{\frac{\pi}{6}} |\cos u|\,\cos u\,\diff u\,?
\]
Si oui, comment terminer le calcul ?
Étant donné que :
\[
\phi : \fonction{\R}{\mathopen{[}-1,1\mathclose{]}}
{u}{\sin u}
\]
est de classe $\CC^{1}$ et vérifie :
\[
\phi \Big({\frac{3\pi}{2}}\Big) = -1,
\et
\phi\Big(\frac{\pi}{6}\Big) = \frac{1}{2},
\]
le changement de variable $t=\sin u$ donne aussi :
\begin{align*}
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
&= \int_\frac{3\pi}{2}^{\frac{\pi}{6}}|\cos u|\,\cos u\,\diff u \\
&=- \int_{\frac{\pi}{6}}^\frac{3\pi}{2}|\cos u|\,\cos u\,\diff u.
\end{align*}
Comme la fonction $\cos$ change de signe sur l'intervalle d'intégration,
il faut scinder :
\begin{align*}
\int_{-1}^{\frac{1}{2}}\sqrt{1-t^{2}}\,\diff t
&=- \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}
|\cos u|\,\cos u\,\diff u- \int_{\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2}
|\cos u|\,\cos u\,\diff u\\\\
&=- \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^{2}u\,\diff u
+\int_{\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2}\cos^2 u\,\diff u\\\\
&=- \left[ u+\dfrac{\sin 2u}{2}\right]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}+\left[ u+\dfrac{\sin 2u}{2}\right]_{\frac{\pi}{2}}^\frac{3\pi}{2}\\\\
&=\frac{1}{8}\sqrt{3}+\frac{1}{3}{\pi}.
\end{align*}
Ce qui donne évidemment le même résultat qu'avec la première méthode,
mais avec quelques complications bien inutiles.